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数学必修二：点、直线、平面之间的位置关系

作者：官方模板

0浏览2022-06-29 15:11:22

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数学必修二：点、直线、平面之间的位置关系

位置关系

平面

平面的基本性质（三大公理）：

①A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α → l 包含于 α。
直线上两点在平面内，直线在此平面内。
②过不在同一条直线上的三点有且仅有一个平面。不共线的三点确定一个平面。
③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理②有三条推论：

推论一：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

线与线

共面

相交

平行

公理④：平行于同一条直线的两条直线互相平行。【空间平行线的传递性】
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

异面

①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不过点B的直线是异面直线；
②反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面。

线与面

①有无数个公共点，直线在平面内；
②有且只有一个公共点，直线与平面相交；
③没有公共点，直线与平面平行。

面与面

①平行，②相交

线面平行

直线、平面平行的判定及其性质

线面平行

判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

面面平行

判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么，他们的交线平行。

直线、平面平行的证明方法

线面平行

①利用定义：证明直线与平面无公共点；

②利用直线与平面平行的判定定理；

③利用平面与平面平行的定义：两个平面平行，则一个平面内的所有直线都平行于两一个平面。

面面平行

①利用平面与平面平行的定义，此法一般与反证法相结合；

②利用平面与平面平行的判定定理；

③证明两个平面垂直于同一条直线；

④证明两个平面同时平行于第三个平面。

空间中平行关系的相互转化

线线平行↔（判定定理、性质定理）↔线面平行↔（判定定理、性质定理）↔面面平行
线线平行↔（判定定理、性质定理）↔面面平行

线面垂直

直线与平面垂直的判定及性质

判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行

直线与平面所成的角

[0°，90°]

二面角

①[0°，180°]

②角的顶点在二面角的棱上，角的两边分别在二面角的两个面内，角的两边分别与二面角的棱垂直。

平面与平面垂直的判定及其性质

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

直线、平面垂直的证明方法

线面垂直

①利用直线与平面垂直的定义（可以用反证法）；

②利用直线与平面垂直的判定定理；

③利用平面与平面垂直的性质定理；

④结合平行关系： A：a//b，a⊥α→b⊥α； B：a⊥α，α//β，a⊥β

面面垂直

①利用定义判断（证明）二面角的平面角是直角；

②利用平面与平面垂直的判定定理。

空间中垂直关系的相互转化

线线垂直↔（判定定理、性质定理）↔线面垂直↔（判定定理、性质定理）↔面面垂直

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