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九年级数学下册圆

作者：官方模板

0浏览2021-09-24 17:22:15

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圆

圆的有关概念和性质

定义

圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合

圆将平面分成圆内、圆上、圆外三部分

圆的确定

不在同一直线上的三点确定一个圆

基本轨迹

圆

到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆

线段的中垂线

和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的中垂线

角的平分线

到已知角的两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线

性质

轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴

垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

推论

平分弦

垂直于弦

过圆心

平分弧

注意

平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（这条弦不是直径）

补充

圆的两条平行弦所夹的弧相等

旋转不变性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

圆心角、弧、弦、弦心距
关系定理

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦
心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

圆心角定理

圆心角的度数和它所对的弧的度数相等

圆周角定埋

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论

同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径

圆的内接四边形

圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

直线和圆的位置关系

直线和圆

位置关系表

切线的性质和判定

切线的判定方法

定义

直线和圆有唯一公共点时，这条直线是圆的切线

定理

到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线

判定

经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

切线的性质

定理

圆的切线垂直于经过切点的半径

推论

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

切线长定理

在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分这两条切线的夹角

三角形的内切圆

概念

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆

内切圆的圆心叫做三角形的内心

这个三角形叫做圆的外切三角形

三角形内心的性质

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等

内切圆半径公式

设△ABC的三边分别为a、b、c，面积为S，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)

设Rt△ABC的三边分别为a、b、c（其中c为斜边），则内切圆半径r=(a+b-c)/2

圆和圆的位置关系

位置关系

同心圆

内含

相切

内切

外切

性质定理

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

相交

性质定理

相交两圆的连心线垂直平分公共弦

外离

两圆的公切线

外公切线

两个圆在公切线的同旁

内公切线

两个圆在公切线的两旁

与两圆的位置关系

公切线长定理

如果两圆有两条内（外）公切线，那么这两条公切线长相等

如果两条内（外）公切线相交，那么交点在两圆连心线上，并且连心线平分
两条内（外）公切线的夹角

与圆有关的计算

圆周长公式

C=2πr

弧长公式

l=nπr/180

圆面积公式

S=πr²

扇形面积公式

S=nπr²/360

S=lr/2

圆柱侧面积公式

S=2πrh

圆柱表面积公式

S=2πrh+2πr²

圆柱体积公式

V=πr²h

国锥体积公式

V=πr²h/3

连半径证垂直，作垂直证半径

1.经过圆心；2.垂直于切线；3.经过切点。
已知其二，可推出第三个

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