左、右导数的定义公式
定理：函数在某点处可导的充分必要条件是它在该点处左导数与右导数存在且相等。
①利用导数存在的充分必要条件判断分段函数在分段点处的导数；
②利用导数的定义求函数的导数；
区间上可导及导函数
微分的概念
▶ 函数在某一点处可微，则函数的增量△y与函数的微分之间满足△y=dy+o（△x）=A△x（线性主部）+o（△x）；
▶ 函数在某点可微的充分必要条件是函数在该点可导；
▶ 函数的微风等于函数的导数A乘以自变量的微分dx；
①若函数在某点处可导，则函数在该点处连续，反之则不成立；
②若函数在某点处可微，则函数在该点处连续，反之则不成立；
③函数在某点处可微的充分必要条件是函数在该点处可导；
①导数在几何上表示曲线的切线的斜率函数；
②切线和法线的斜率互为倒数和相反数；
③若曲线上某一点的切线的斜率为0，则该点处有水平切线和垂直法线；
④若函数在某点处可导，则曲线在该点处有切线，反之则不然；
⑤若函数在某点处可导，且导数值为无穷大，则曲线在该点处有垂直切线。
①函数在某一点上的切线方程（法线方程）；
②两曲线相切，求a；
举例证明：
解法举例
将函数等式两边同时取对数，化为隐函数形式，在按照隐函数求导法求导数；
①对数求导法；②复合函数求导法；
方法一
方法二
①对定义域内每个分段区内的函数按常规求导法求出导数（不含分段点）；
②对于每个分段点处的导数，要按导数定义或左、右导数定义进行计算，从而判断函数在分段点处时是否可导以及导数值；
③写出最后的导数结果。
①可导的偶函数的导数是奇函数；
②可导的奇函数的导数是偶函数；
③可导的周期函数的导数仍是周期函数，且周期不变。
导数的导数
①直接法：先求出函数的一阶、二阶、三阶导数，找出导数规律，再写出n阶导数。
②间接法：利用已知高阶导数公式、运算法则，通过将函数恒等变形、变量替换求出高阶导数结果。
常用高阶导数公式
几类函数的二阶导数求导法
（先求一阶导数，再求二阶导数）
抽象复合函数：先求一阶导数，再求二阶导数；
隐函数二阶求导：先利用隐函数求导法求出一阶导数，再利用四则运算或复合函数求导法求二阶导数。
参数方程二阶求导（数学三不要求）
微分的计算：函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。
微分的四则远算法则同导数的四则运算法则原理一致。
一阶微分形式的不变性
（复合函数的微分等于外层函数的导数乘以内层函数的微分）
费马定理：若函数的极大（极小）值的导数存在，其导数值为 0 。
【可导条件下极值点的必要条件】
①利用费马定理求函数的极值点；
罗尔定理：若函数在闭区间上连续，开区间上可导，且，
则区间内至少存在一点（极值点）导数值为 0 。
拉格朗日中值定理：函数在闭区间上连续，在开区间上可导。
【即某点的切线与端点的连线平行】
柯西中值定理是拉格朗日中值定理在两个函数情形的推广
拉格朗日余项泰勒公式与佩亚诺余项泰勒公式的比较
几个常用的x=0出展开的佩亚诺余项泰勒公式：
1、单调性法
2、最值法（求最小值≥0）
4、拉格朗日余项泰勒公式
①由连续函数介值定理或零点定理证明；
②用罗尔定理证明；
如果函数有k个零点，那么函数的导数至少有（k-1）个零点。
1、函数的单调性
①导数为零的点称为函数的驻点（驻点包括非极值点和极值点）；
②极值的必要条件：导数为 0 ；
③极值的第一充分条件：通过驻点左右单调性判断极大（极小）点，
若左右两侧导数同号，则不为极值点；
④极值的第二充分条件：一阶导数为0，二阶导数＜0则为极大值点；
①求出函数在开区间内的驻点和不可导的点；
②求出函数在驻点、不可导点和区间端点处的函数值；
③比较以上个点的函数值，求出最大值和最小值。
①任意两点之和的平均数的函数值＜任意两点的函数值之和的平均数——凹型；
②区间内的二阶导数＞0——凹型；
③连续曲线弧上的凹凸分界点称为曲弧线的拐点；
④拐点的必要条件：二阶导数值为0 ；
⑤拐点的第一充分条件：二阶导数值为 0，且左、右二阶导数异号；
⑥拐点的第二充分条件：二阶导数为 0，且三阶导数不为 0。
水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线
6、曲线的弧微分与曲率（数学三不要求）
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